[정수론] 최대지수

$n$을 양의 정수 $p$를 소수라 할 때, $n!$를 나누어 떨어뜨리는 $p$의 최대지수 $e$

$(즉, p^e|n!,\ p^{e+1}|n!\ )$를 $E(p,n)$으로 나타내면 $\ E(p, n) = \sum_{i=1}^\infty[\frac{n}{p^i}]$ 이다.

기수법의 원리

: 숫자가 위치하는 자리에 따라 의미하는 값이 다르다.

ex)

$234 \neq 2 + 3 + 4$

$234 = 2\times100 + 3\times10 + 4\times1$

기준 수를 곱할 때마다 위치가 왼쪽으로 한칸씩 이동

$(b진법의\ 기준수)\ =\ b$

ex)

$234_{(10)} \times 10 =2340_{(10)}$

$1010_{(2)} \times 2 = 10100_{(2)}$

분수를 n진법으로 나타내기

ex)

$\frac{1}{7}$을 2진법으로 나타내기

$\frac{1}{7} = 0.a_1a_2..._{(2)}
\frac{1}{7} \times 2 = \frac{2}{7} = a_1.a_2a_3..._{(2)}\qquad \therefore a_1 = [\frac{2}{7}] = 0\\
\frac{2}{7} = 0.a_2a_3..._{(2)}
\frac{2}{7} \times 2 = \frac{4}{7} = a_2.a_3a_4..._{(2)}\qquad \therefore a_2 = [\frac{4}{7}] = 0\\
\frac{4}{7} = 0.a_3a_4..._{(2)}
\frac{4}{7} \times 2 = \frac{8}{7} = a_3.a_4a_5..._{(2)}\qquad \therefore a_3 = [\frac{8}{7}] = 1\\
\frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7} = 0.a_4a_5..._{(2)}\\
\therefore \frac{1}{7} = 0.\dot{0}0\dot{1}
_{(2)}= 0.\overline{001}_{(2)}
$

분모와 기수의 최대공약수가 1이면

$(기수의 위수) = (소수의 순환 주기)$

(2, 7) = 1이고

$2^1 = 2\\
2^2 = 4\\
2^3 = 8 = 1\\
\Rightarrow 위수가\ 3\\
\Rightarrow 순환마디\ 길이가\ 3$

$\frac{1}{7}$을 2진법으로 나타내기 를 위의 성질을 이용해 나타낼 수 있다.

하지만

$\frac{1}{6}$을 8진법으로 나타내기

$(6, 8) = 2 \neq 1$

와 같이 분모와 기수의 최대공약수가 1이 아니면

위의 성질을 이용할 수 없다.

뒤에 나오는 합동과 연계할 때, 유의미!